|
例:試利用算術基本定理証明是無理數。 解 : (用反証法)假設是有理數。存在互質之p, q Î N, q ¹ 0使得 = p / q 。 根據算術基本定理,有: p = p1p2 . . . . pk 及 q = q1q2 . . . . qm,其中 pi, qj 是質數,1 £ i £ k,1 £ j £ m,p1 £ p2 £ . . . £ pk, q1 £ q2 £ . . . £ qm。 由於p2 = 2q2,所以 p12p22 . . . . pk2 = 2q12q22 . . . . qm2 .......................(*)。 根據算術基本定理,左、右兩邊之質因數個數必定相等;但它們之質因數個數分別是2k及2m+1。明顯 偶數2k不可能等於奇數2m+1,故(*)式不成立。因此不是有理數。 |