對象：小學一年級以上

壹、教學目標

 一、揭示數學教人「反過來想」；提供一個學數學的理由。

 二、讓小孩認識三角形、長方形、圓等圖形，以及長方體、球、（某個）五面體。

 三、讓小孩了解這些圖形都是從某些立體上「取下」來的（都是立體的側面）。

 四、讓小孩體會立體和其面的關係（怎樣的體會有怎樣的面，怎樣的面來自怎樣的體）。

 貳、教學理念

一、如何理解「體和面」？

1.空間中有各種立體，立體是實在的東西。

2.立體的外表就是面。

3.面上有各種區域，區域的外緣就是線。

4.線上有各種區段，區段的盡頭就是點。即，點、線和面，是「一層一層」從體「剝」下來的。

二、體和面應該併陳：以上觀點是先從「實物」（即「體」）思考起的，和傳統教學（為了把幾何學「公設化」）的順序相反。教學要讓小孩釋放出他與生俱來的直感能力，所以「面」應該伴隨著它所依附的體出場，介紹「體」時也不能不同時考察它的各個面。

三、新的教學方法：讓立體在平面上「翻滾∣落痕」（不能滑動），以得到立體各個「面」的形狀，同時展示它們之間的「關係」。把落下的痕跡剪下來，折回去，就得到原來的那個立體，這回答了小孩心裡的疑問：「折成方盒所用的材料（展開圖）是怎麼來的？」

四、「球」的特殊性：球面的彎曲，和圓柱、圓錐側面的彎曲不同；用球去滾，頂多只能滾出各種直線或曲線。翻滾落痕的方法，解釋了為什麼不能用平面的紙張做出一個球。

 參、教學流程

一、到哪裡找圖樣？

這個單元與第二單元之間，間隔至少一週，以留給小孩玩味的機會。

1.說一個仙女拿圖樣（展開圖）給小矮人折出方盒子的童話，再問：仙女不在的時候，小矮人到哪裡去找「圖樣」呢？講的時候配合圖畫，一面利用包裝盒展開來的圖樣，折給小孩看；另外指定幾個小孩上台，讓他們折給全班看。

2.接著問全班：「誰可以幫小矮人想想辦法？」徵求發表。小孩可能提出「用現成圖樣去比」、「把盒子拆開來」，鼓勵他們繼續想；如果提出「用想的」，這就有一點對了，但是，怎麼想？從各種發言中，老師可以暗示：「怎麼樣確定這個面是什麼樣子？」從其中引出「印在紙上再剪下來」的方法。

3.讓全班看「翻滾落痕」的圖畫，要讓他們儘量仔細看，不必要求小孩真的都明白。但要強調數學是要提供想事情的方法（註1），小孩一定不清楚老師到底在說些什麼，但沒有關係；如果有小孩發問，或開始研究而不肯罷手，那就太好了。

二、按印子－落印的方法

這個單元是要協助小孩，瞭解「印子」和立體的側面是一樣

的。老師準備任何可以按印的東西、顏料和白紙，先讓小孩印出各種不同的形狀，印出幾個自己喜歡的形狀；然後帶領小孩討論「蓋出來的印子，和原來的東西，有什麼關係」。

三、長方體掉下來了－落印的過程

1.老師拿出一個長方體（例如紙盒子），問：「這個長方體掉在地上，會是（用手指著）『頂點』、『這個邊』、或『這個面』先碰到地﹖」（註2）

2.讓小孩想像實際會是怎樣的情況，徵求發表，鼓勵不同主張的爭論，在爭論過程裡，儘量協助小孩使用上述的四個名詞，例如：小孩說「它應該是這個角先碰地」，老師幫他修飾「你是說長方體的頂點會……」但別讓小孩實驗，堅持要他們想像。

3.經過想像之後，可以在講桌上做實驗，讓全班仔細觀察是怎樣著地（即桌面）。

4.讓小孩看圖（長方體落在沙灘上的印子），問：（看得懂意思嗎﹖徵求小孩說明，特別要問「右邊那三個圖（指三個印子）是什麼意思﹖」。因為有些小孩也許還沒有發現圖1左半部是「實景圖」，而右半部（即印子）是「俯視圖」，所以特別要讓小孩發言，以確定他們能看出這個道理。

5.老師拿著紙盒做頂點、邊、面落印的樣子，徵求或指定小孩上黑板畫出印子的樣子，當然只要畫一個大概就好。（註3）

四、玩麵團－認識長方形和三角形

1.有前一單元的經驗，老師可以請小孩參照圖（一長方體和一球體），做出長方體和球，但要請他們盡量做得和圖上形狀相似。

2..讓小孩沾顏料按印子。請小孩選出長方體和球各自印出哪些圖形。

3.將長方體沿對角線切，製造出一個五面體（不妨稱為「蛋糕」），再次觀察落印。

4.辨認三角形和長方形，這一次我們正式地「解釋名詞」，讓小孩體會這兩個名詞的「語意」（即何以稱「角」和「方」）。

 五、用手拿著看－數「有幾個面」的方法

 1.老師拿出一個長方體的紙盒（例如鞋盒），問：「假想這是一間教室，而我們是很小很小的人，那麼，我們的教室有幾個面？」徵求小孩來回答。確定全班都可以理解：六個面可以分成「上下」和「四方」兩種，而用這樣分兩種的「看法」，很快就知道是六個面，不必一個一個去數。

2.老師拿出「蛋糕」模型，說：「假想這是一個露營的帳篷，假想你的身體小得像螞蟻一樣，然後躲到帳篷裡，用假想的噢，你會看到幾個面？」徵求小孩來回答。引導小孩想到，腳踩的一面，加上頭頂上的兩個斜面，再加上相對立的兩個牆面，總共是五個面。如果小孩經過種種提示之後，還是難以想像，不必強求。

3.讓小孩仔細看他們用麵團做好的長方體和「蛋糕」。老師說：「請你們用手拿著長方體(或三角柱)看」，「看的時候，心裡要問自己，指頭碰到幾個面﹖最多能看到幾個面﹖總共幾個面﹖」

4.老師說：「假想有一個巨人，他的手很大很大，可以把我們的教室拿在手上，他的大姆指和食指，會碰到哪兩個面﹖」徵求小孩回答，並讓全班共同討論。

 最後一項討論的目的，是要把前面第1和2「從內部看」的經驗，和圖上所提供的「從外部看」的經驗連結起來。內外兩種看法合起來，能讓小孩的空間概念得到充分的發展。

 六、翻滾落痕

1.先請小孩看圖（立體與落印痕跡），老師解釋所謂「翻滾、不滑動」的意思。

2.徵求幾個小孩起來猜一猜，圖4中哪個立體該有哪一個痕跡。無論猜對猜錯，都請他們說一說是怎麼猜的。小孩僅僅從痕跡中是否有三角形或長方形，就可以判斷哪一個痕跡是由哪一個立體滾出來的，但他們可能無法想像那些面怎麼會那樣連接在一起。本項的目的是要讓小孩驚奇：原來連續翻滾，能滾出這樣的圖樣！

3.老師拿一個長方體，按在黑板上，用粉筆沿著按住的邊緣，把它的落印勾出來，然後不要讓立體離開黑板，把它往任何一個方向翻滾過去。翻滾之前，一面繼續按著立體，一面詢問全班，看他們喜歡往哪一方向滾，等他們亂說一陣子，老師才真的滾動，一面說「我們先往這一方向滾，等一下再試別的方向。」這樣做，可令小孩注意老師的動作，同時讓他們體會，其實有很多不同的滾法（雖然結果也許一樣）。

4.在黑板上勾出第二面的印子，再繼續以上的步驟，每滾一次都讓小孩出主意看要往那一方向滾。

5.滾完六個面之後，應該有許多小孩並沒有發現已經結束了，這時老師要提醒他們，長方體應該有幾個面呀﹖黑板上是不是已經有了六個面呢？這樣做的目的，是讓小孩回憶前一個單元的結論，同時體會什麼時候才算是滾完。

6.徵求幾個小孩上黑板來做同樣的過程，鼓勵他們嘗試不同的滾法。

7.擦去黑板上所有圖樣，讓小孩仔細看講義上所提供的翻滾過程，並用手上的長方體（用麵團再做一個）在桌子上翻滾，和講義上的圖對照。

8.老師說：「把眼睛閉起來，試著想像，可以用手在空中比，想像長方體是怎麼翻滾的。」給時間讓小孩想像，之後再說「能想出來才厲害，那表示你真的懂了。仙女的魔法好像很神奇，但是小矮人只要躺在那裡想，就可以做到同樣的事。所有的魔法，都在人的頭腦裡；只有人的頭腦，才是真的魔法！」

9.把以上的過程，對三角柱再做一遍。>

10.最後讓小孩做講義上「連連看」的題目。

 肆、評量建議

1.辨認形狀：給一幅好看的圖，讓小孩找出裡面的三角形、長方形、正方形和圓形。

2.讓小孩指認汽水罐的印子。

3.小孩能像聰明的小矮人那樣，「看出」什麼樣的盒子配上什麼樣的圖樣。

 伍、延伸學習

試捏出共四個面的立體。

 編按：本教案取材自人本基金會所編牛頓版數學教科書，原文約一萬字，此為刊載於札記之精簡版；唯原文所附之圖，限於電子報形式，無法刊載，請有興趣之讀者參閱【人本教育札記】141期。　

 註1：參考的說法「拿著圖樣折成一個紙盒其實很容易，但不拆開紙盒而要剪出圖樣就很難。如果我們「反過來想」，把折成紙盒的步驟反回去，而且每一步都留下一個印子，最後，就自然得到可以折成紙盒的圖樣了。所以，很多事情，只要反過來想，就可以想出很多意料不到的方法。這就是數學要教給我們的，也是我們之所以要學數學的理由。」　　

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 註2：一個長方體自然掉落時，最可能是尖角先著地，一個邊或一個面與地面平行接觸是很難得的狀況，機率幾乎是零；尖角先著地之後，同理，第二步著地的最可能是一個邊，最後才是一個面。圖1左半部提供的三步驟著地」圖，是一般的著地最可能發生的過程。　　

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 註3：從「想像」落地的動態過程開始，引出各個名詞，再歸到印子的形狀；請不要直接讓小孩觀察紙盒按印出什麼形狀。